Filosofie van de wiskunde

Hoofd artikel: filosofie van de wiskunde

Doelstellingen en methoden
Wiskunde bestudeert denkbeeldige, ideale objecten en relaties daartussen met behulp van formele taal. Over het algemeen komen wiskundige concepten en stellingen niet noodzakelijk overeen met iets in de fysieke wereld. De belangrijkste taak van het toegepaste gedeelte van de wiskunde is om een wiskundig model te creëren dat voldoende geschikt is voor het werkelijke object dat wordt bestudeerd. De taak van de theoretisch wiskundige is om voldoende handige middelen te verschaffen om dit doel te bereiken.

De inhoud van wiskunde kan worden gedefinieerd als een systeem van wiskundige modellen en hulpmiddelen voor het creëren ervan. Het model van een object houdt niet rekening met al zijn kenmerken, maar alleen met de meest noodzakelijke voor studie doeleinden (geïdealiseerd). Als we bijvoorbeeld de fysieke eigenschappen van een sinaasappel bestuderen, kunnen we abstraheren van de kleur en smaak en deze (hoewel niet perfect nauwkeurig) als een bal voorstellen. Als we willen begrijpen hoeveel sinaasappels er zullen blijken te zijn als we twee en drie bij elkaar optellen, dan kunnen we abstraheren van de vorm, waardoor het model slechts één kenmerk heeft: hoeveelheid. Abstractie en het leggen van verbindingen tussen objecten in de meest algemene vorm is een van de belangrijkste richtingen van wiskundige creativiteit.

Een andere richting, naast abstractie, is generalisatie. Bijvoorbeeld het generaliseren van het concept van “ruimte” naar n-dimensionale ruimte. “De spatie R ^ n, voor n> <span class = 3” border = “0”> is een wiskundige uitvinding. Een zeer ingenieuze uitvinding die helpt om complexe verschijnselen wiskundig te begrijpen. “

De studie van intra-wiskundige objecten vindt in de regel plaats met behulp van de axiomatische methode: eerst wordt voor de objecten die worden bestudeerd een lijst met basisconcepten en axioma’s geformuleerd, en vervolgens worden uit de axioma’s met behulp van inferentieregels zinvolle stellingen verkregen, die samen een wiskundig model vormen.

Stichtingen
De kwestie van de essentie en grondslagen van de wiskunde wordt al sinds de tijd van Plato besproken. Sinds de 20e eeuw is er vergelijkende overeenstemming over wat als een rigoureus wiskundig bewijs moet worden beschouwd, maar er is geen overeenstemming over wat in eerste instantie waar is in de wiskunde. Vandaar dat er meningsverschillen ontstaan over zowel kwesties van axiomatiek en de relatie tussen takken van de wiskunde, als over de keuze van logische systemen die in bewijzen moeten worden gebruikt.

Naast de sceptici zijn de volgende benaderingen van dit probleem bekend.

Set-theoretische benadering
Hoofd artikel: verzamelingenleer
Er wordt voorgesteld om alle wiskundige objecten binnen het raamwerk van de verzamelingenleer te beschouwen, meestal met de Zermelo-Fraenkel-axiomatiek (hoewel er vele andere equivalent aan zijn). Deze benadering wordt sinds het midden van de 20e eeuw als overheersend beschouwd, maar in werkelijkheid stellen de meeste wiskundige werken niet de taak om hun uitspraken strikt in de taal van de verzamelingenleer te vertalen, maar werken ze met concepten en feiten die in sommige gebieden van de wiskunde zijn vastgesteld. Als er dus een tegenstrijdigheid wordt gevonden in de verzamelingenleer, zal dit niet leiden tot een waardevermindering van de meeste resultaten.

Logica
Hoofd artikel: Logicism
Deze benadering veronderstelt een sterke typering van wiskundige objecten. Veel paradoxen, die in de verzamelingenleer alleen door speciale trucs worden vermeden, blijken in principe onmogelijk.

Formalisme
Hoofd artikel: formalisme (wiskunde)
Deze benadering omvat de studie van formele systemen gebaseerd op klassieke logica.

Intuïtionisme
Hoofd artikel: intuïtionisme
Intuïtionisme veronderstelt aan de basis van de wiskunde een intuïtionistische logica, die beperkter is in de bewijsmiddelen (maar, zo wordt aangenomen, en betrouwbaarder). Intuïtionisme verwerpt bewijs door tegenspraak, veel niet-constructieve bewijzen worden onmogelijk, en veel problemen van de verzamelingenleer worden zinloos (niet geformaliseerd).

Constructieve wiskunde
Hoofd artikel: constructieve wiskunde
Constructieve wiskunde is een beweging die dicht bij het intuïtionisme in de wiskunde staat en die constructieve constructies bestudeert [verduidelijk]. Volgens het criterium van constructiviteit – “bestaan is gebouwd worden”. Het criterium van constructiviteit is een sterkere eis dan het criterium van consistentie.